Section: New Results

Applications

Introduction

Nous présentons maintenant plusieurs travaux de nature appliquée, touchant à des domaines variés, dans lesquels nous exploitons certaines des techniques mathématiques présentées précédemment, et particulièrement celles qui relèvent de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire et de la convexité tropicale. Ces applications utilisent aussi des techniques d'algèbre linéaire ou d'optimisation convexe.

English version

In this section, we describe several applied works in which we use some of the theoretical tools developed by the team, including non-linear Perron-Frobenius theory and tropical convexity. Some of these applications also make an intensive use of linear algebraic and convex programming methods.

Optimisation de la croissance de populations/Optimizing population growth

Participants : Vincent Calvez [ENS Lyon et Inria, NUMED] , Pierre Gabriel [UVSQ] , Stéphane Gaubert.

On s'intéresse dans [28] à l'optimisation du taux de croissance d'une population, représentée par un système dynamique $\dot{x}\left(t\right)=M\left(t\right)x\left(t\right)$, où la matrice $M\left(t\right)$ appartient à un ensemble compact de matrices de Metzler irréductibles. Ceci est motivé par un problème de biologie mathématique (modélisation de processus de croissance-fragmentation et protocole PMCA). Nous montrons que le taux de croissance est donné par la valeur propre non-linéaire d'un analogue max-plus de l'opérateur de Ruelle-Perron-Frobenius, ou de manière équivalente, par la constante ergodique d'une EDP d'Hamilton-Jacobi, dont les solutions et sous-solutions fournissent respectivement des normes de Barabanov et des normes extrémales. Nous exploitons les propriétés de contraction des flots monotones, relativement à la métrique projective de Hilbert, pour démontrer que le vecteur propre non-linéaire, qui correspond à une solution “KAM faible” de l'équation d'Hamilton-Jacobi, a bien une solution. Des exemples en petite dimension sont discutés, montrant en particulier que le contrôle optimal peut produire un cycle limite.

English version

We study in [28] a growth maximization problem for a continuous time positive linear system with switches. More precisely, we consider a dynamical system $\dot{x}\left(t\right)=M\left(t\right)x\left(t\right)$, where the matrix $M\left(t\right)$ must be chosen in a compact set of irreducible Metzler matrices. This is motivated by a problem of mathematical biology (modeling growth-fragmentation processes and the PMCA protocol). We show that the growth rate is determined by the non-linear eigenvalue of a max-plus analogue of the Ruelle-Perron-Frobenius operator, or equivalently, by the ergodic constant of a Hamilton-Jacobi (HJ) partial differential equation, the solutions or subsolutions of which yield Barabanov and extremal norms, respectively. We exploit contraction properties of order preserving flows, with respect to Hilbert's projective metric, to show that the non-linear eigenvector of the operator, or the "weak KAM" solution of the HJ equation, does exist. Low dimensional examples are presented, showing that the optimal control can lead to a limit cycle.

Preuve formelle d'inégalités non-linéaires/Formal proofs of non-linear inequalities

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Victor Magron, Benjamin Werner [LIX] .

La thèse de Victor Magron  [153] , dirigée par Benjamin Werner, codirigée par Stéphane Gaubert et Xavier Allamigeon, a porté sur la certification de bornes inférieures de fonctions multivariées à valeurs réelles, définies par des expressions semi-algébriques ou transcendantes, et sur la preuve de validité de celles-ci au moyen de certificats dans l'assistant de preuves $\text{Coq}$.

De nombreuses inégalités de cette nature apparaissent notamment dans la preuve par Thomas Hales de la conjecture de Kepler. Voici un exemple typique d'inégalité à prouver.

Lemme 9922699028 Flyspeck. Soit $K$, $\Delta 𝐱$, $l$, $t$ et $f$ définis comme suit:

Alors, $\forall 𝐱\in K,f\left(𝐱\right)\ge 0.$

On s'est donc intéressé à des fonctions non-linéaires, faisant intervenir des opérations semi-algébriques ainsi que des fonctions transcendantes univariées ($cos$, $arctan$, $exp$, etc).

De manière classique, on peut approcher les fonctions transcendantes qui interviennent de la sorte par des polynômes, ce qui permet de se ramener à des problèmes d'optimisation semi-algébriques, que l'on peut résoudre par des techniques de sommes de carrés creuses conduisant à des problèmes SDP. Cependant, en pratique, cette approche est limitée par la taille des SDP à résoudre, qui croît rapidement avec le degré des approximations polynomiales.

Dans ce travail de thèse, on a développé une méthode alternative, qui consiste a borner certains des constituants de la fonction non-linéaire par des suprema de formes quadratiques dont les Hessiens sont judicieusement choisis. On reprend donc ici l'idée des approximations “max-plus” initialement introduites en contrôle optimal, en s'appuyant sur des techniques d'interprétation abstraite (généralisation non-linéaire de la méthode des gabarits de Manna et al.). Ainsi, on obtient une nouvelle technique d'optimisation globale, basée sur les gabarits, qui exploite à la fois la precision des sommes de carrés et la capacité de passage à l’échelle des méthodes d'abstraction.

L’implémentation de ces méthodes d'approximation a abouti à un outil logiciel : $\mathrm{𝙽𝙻𝙲𝚎𝚛𝚝𝚒𝚏𝚢}$. Cet outil génère des certificats à partir d'approximations semi-algébriques et de sommes de carrés. Son interface avec $\text{Coq}$ permet de bénéficier de l’arithmétique certifiée disponible dans l'assistant de preuves, et ainsi d'obtenir des estimateurs et des bornes valides pour chaque approximation.

Les performances de cet outil de certification ont été démontrées sur divers problèmes d'optimisation globale ainsi que sur des inégalités essentiellement serrées qui interviennent dans la preuve de Hales (projet Flyspeck).

Ce travail est exposé dans  [73] , [74] et [18] , [19] .

English version

The PhD work of Victor Magron  [153] , supervised by Benjamin Werner, and cosupervised by Stéphane Gaubert and Xavier Allamigeon, dealt with the certification of lower bounds for multivariate functions, defined by semi-algebraic or transcendental expressions, and their correctness proof through certificates checked in the $\text{Coq}$ proof assistant.

Many inequalities of this kind appear in particular in the proof by Thomas Hales of Kepler's conjecture. Here is a typical example of inequality.

Lemma 9922699028 Flyspeck. Let $K$, $\Delta 𝐱$, $l$, $t$ and $f$ be defined as follows:

Then, $\forall 𝐱\in K,f\left(𝐱\right)\ge 0.$

Thus, we considered non-linear functions, defined in terms of semi-algebraic operations and univariate transcendental functions ($cos$, $arctan$, $exp$, etc).

Such transcendental functions can be classically approximated by polynomials, which leads to semi-algebraic optimization problems, which can be solved by sparse sum of squares techniques leading to SDP formulations. However, in practice, this approach is limited by the growth of the size of the SDP instances to be solved, whichs grows quickly with the degree of polynomial approximations.

In this PhD, we developed an alternative method, which consists in bounding some constituents of the non-linear function to be optimized by suprema of quadratic forms with well chosen Hessians. This is based on the idea of “maxplus approximation” initially introduced in optimal control, and also, on abstract interpretation (the template method introduced by Manna et al. in static analysis). In this way, we end up with a new global optimization technique, which takes advantage of the precision of sum of squares and of the scalability of abstraction methods.

These methods have been implemented in a software tool: $\mathrm{𝙽𝙻𝙲𝚎𝚛𝚝𝚒𝚏𝚢}$. This tool generates certificates from semi-algebraic and sum of square certificates. Its interface with $\text{Coq}$ allows one to take benefit of the certified arithmetics available in this proof assistant, and so, to obtain estimators and valid bounds for each approximation.

The performances of this certification tool have been shown on several global optimization problems from the literature, as well as on essentially tight inequalities taken from Hales' proof (Flyspeck project).

This work is presented in  [73] , [74] and [18] , [19] .

Vérification de systèmes temps-réels/Verification of real-time systems

Participants : Xavier Allamigeon, Uli Fahrenberg [IRISA] , Stéphane Gaubert, Ricardo Katz [Conicet] , Axel Legay [IRISA] .

Dans  [152] , Lu, Madsen, Milata, Ravn, Fahrenberg et Larsen ont montré que les polyèdres tropicaux peuvent être utilisés dans le cadre de l'analyse d'accessibilité d'automates temporisés. En effet, les polyèdres tropicaux expriment naturellement des invariants non-convexes, qui sont en fait des disjonctions d'invariants fournis par des DBM (difference bound matrices). A ce titre, les polyèdres tropicaux devraient permettre de réduire le nombre de disjonctions réalisées pendant l'analyse d'automates temporisés. Une limitation importante de cette approche est cependant que les polyèdres tropicaux sont topologiquement fermés, et qu'ils ne peuvent donc pas exprimer de contraintes d'inégalités strictes. Ces dernières sont néanmoins fondamentales dans l'analyse de systèmes temps-réels.

Nous avons donc développé dans  [69] une généralisation des polyèdres tropicaux permettant d'exprimer des contraintes mixtes, i.e. strictes ou larges. Notre approche repose sur l'utilisation d'inégalités tropicales linéaires à coefficients dans un (quotient du) semi-anneau de germes affines. Afin de réaliser des opérations sur cette nouvelle classe de polyèdres tropicaux, nous avons défini deux nouveaux algorithmes. Le premier est un analogue tropical de l'élimination de Fourier-Motzkin. Celle-ci s'applique plus généralement à des systèmes d'inégalités linéaires sur des semi-anneaux idempotents et totalement ordonnés. Le second algorithme permet de tester si un système de contraintes mixtes admet une solution. Nous montrons en effet que ce problème est équivalent en temps polynomial à la résolution d'un problème de jeux déterministes à somme nulle. Ces deux contributions nous permettent de définir les primitives requises pour l'analyse d'accessibilité d'automates temporisés.

English version

Lu, Madsen, Milata, Ravn, Fahrenberg and Larsen have shown in  [152] that tropical polyhedra can be applied to the reachability analysis of timed automata. Indeed, tropical polyhedra naturally express non-convex invariants, which correspond to disjunctions of invariants provided by DBM (difference bound matrices). Consequently, tropical polyhedra should allow to reduce the number of disjunctions arising during the analysis of timed automata. An important limitation of this approach is that tropical polyhedra are topologically closed, and thus they cannot express strict inequality constraints. However, such constraints plays an important role in the analysis of real-time systems.

As a result, we have developed in  [69] a generalization of tropical polyhedra, in order to express mixed constraints, i.e. strict or loose ones. Our approach relies on tropical linear inequalities with coefficients in a (quotient of) the semiring of affine germs. In order to perform operations on this new class of polyhedra, we have introduced two new algorithms. The first one is a tropical analog of Fourier-Moztkin elimination. In fact, it applies more generally to systems of linear inequalities over totally ordered and idempotent semirings. The second algorithm allows to test the feasability of a mixed constraint system. We indeed show that this problem is polynomial-time equivalent to solving mean payoff games. These two contributions allow to define the primitives required by the reachability analysis of timed automata.

Géométrie de l'ordre de Loewner et application au calcul d'invariants quadratiques en analyse statique de programme/Geometry of the Loewner order and appliction to the synthesis of quadratic invariants in static analysis of program

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Éric Goubault [LIX] , Sylvie Putot [LIX] , Nikolas Stott.

Le stage de recherche de l'École des Mines de Nikolas Stott a porté sur la caractérisation de l'ensemble des majorants minimaux de deux matrices symmétriques, relativement à l'ordre de Loewner, et sur l'application de cette caractérisation à la synthèse d'invariants quadratiques en analyse statique de programme.

English version

The research internship of “École des Mines” made by Nikolas Stott dealt with the characterization of the set of minimal upper bounds of two matrices with respect to Loewner order, motivated by the generation of quadratic invariants in static analysis of programs.

Optimisation de l'affectation temps réel des moyens de secours des pompiers/Optimization of the real time assignment of firemen vehicles

Participants : Marianne Akian, Xavier Allamigeon, Vianney Boeuf, Stéphane Gaubert, Stéphane Raclot [BSPP] .

La thèse de Vianney Boeuf, qui a démarré en Septembre, est effectuée en partenariat avec la Brigade des Sapeurs Pompiers de Paris (BSPP). Elle est motivée par l'optimisation des moyens de secours, en incluant les questions de dimensionnement et d'affectation temps réel des moyens. On s'intéresse en particulier à l'affectation des engins et véhicules de secours, éventuellement empruntés à différentes casernes. Ce travail intervient en complément du travail de l'équipe au sein du projet ANR Democrite, qui porte sur l'évaluation du risque en milieu urbain.

English version

The PhD work of Vianney Boeuf started in September. It is carried out with the Brigade of Paris Firemen (BSPP). It is motivated by the issue of optimization of emergency resources, including the real time dynamic assignment of engines or emergency vehicles. This work is carried out in complement to the ANR project Democrite, dealing with risk evaluation in urban environment.